Прежде, чем решать задачи на нахождение периметра и площади геометрических фигур, напомню, что….

I уровень

1.Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь.

2.Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

3.У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

4.Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см.

5.Длина прямоугольника 8 дм, ширина 5 дм. Найди его площадь.

6.Вычисли площадь прямоугольника, длины сторон которого равны 6 мм и 8 мм.

7.Ширина прямоугольника 7 дм, а длина 12 дм. Вычисли площадь.

8.Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найди его площадь.

9.Длина стороны квадрата 6 см. Узнай площадь.

10.Вычисли периметр квадрата со стороной 4 см.

11.Ширина прямоугольника равна 9 дм, а длина на 6 дм больше. Найдите его площадь.

12.Длина прямоугольника равна 5 дм, ширина — на 4 см меньше. Найдите Р и S этого прямоугольника.

13.Начерти прямоугольник, длина одной стороны которого 2 см, а длина другой в 3 раза больше. Найди его периметр и площадь.

14.Начерти прямоугольник, длина одной стороны которого 6 см, а длина другой в 2 раза больше. Найди его периметр и площадь.

15.Начерти прямоугольник, ширина которого равна 2 см, а длина на 3 см больше. Вычисли его периметр.

16.Сторона квадрата равна 3 см. Чему равен периметр?

17.Лист бумаги имеет квадратную форму. Его сторона равна 10 см. Чему равен периметр?

18.Начерти квадрат со стороной 6 см. Найдите его периметр. Периметр квадрата равен 28 см. Чему равна его сторона?

19.Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычисли площадь окна.

20.Ширина прямоугольника 4 дм, а длина в 5 раз больше ширины. Найди площадь прямоугольника.

21.Площадь прямоугольника 36 см², его длина 9 см. Чему равна ширина прямоугольника?

II уровень

1.Начерти прямоугольник, длина одной стороны которого 2 см, а длина другой в 4 раза больше. Найди его периметр и площадь.

2.Длина прямоугольника равна 5 дм, ширина — на 4 см меньше. Найдите Р и S этого прямоугольника.

3.Дано: прямоугольник, а = 8 дм, в — на 2 см меньше. Найди Р и S.

4.Длина прямоугольника 12 см, а его ширина на 2 см меньше. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

5.Сумма двух сторон квадрата 12 дм. Найдите периметр и площадь квадрата.

6.Найдите длину прямоугольника по его ширине – 8 дм и периметру–30 дм.

7.Периметр квадрата равен 32 см. Чему равна его сторона?

8.Периметр треугольника 21 см. Надите длину третьей стороны этого треугольника, если длины двух сторон 7 см и 8 см.

9.Периметр прямоугольника 20 см. Длина его стороны 6 см. Узнайте ширину прямоугольника и начертите его.

10.Площадь прямоугольника равна 270 кв.см, его длина 9 дм. Найдите периметр этого прямоугольника.

11.Периметр прямоугольника равен 54 м . Найдите площадь этого прямоугольника, если одна его сторона равна 18 м.

12. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 360 мм.

13. Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см.Чему равна его площадь?

14. Начерти квадрат, периметр которого равен периметру прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см.

15. Дачный участок прямоугольной формы имеет длину 20 м и ширину 12 м. Какой длины забор надо поставить вокруг участка?

16. Периметр квадрата равен периметру треугольника со сторонами 6 см, 3 см и 7 см. Чему равна длина стороны квадрата?

17. У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

18. Периметр прямоугольника равен 54 м. Найди площадь этого прямоугольника, если одна его сторона равна 18 м.

19. Периметр квадратной песочницы 12 м. Найдите площадь этой песочницы.

20. Напишите все возможные варианты длины и ширины прямоугольника, если его периметр 24 см.

Составила К ислова Людмила Борисовна

О том, что такое квадрат, многие помнят из школьного курса. Этот четырехугольник, который является правильным, имеет абсолютно равные углы и стороны. Оглянувшись вокруг, можно заметить, что нас окружает множество квадратов. Каждый день мы сталкиваемся с ними, и порой возникает необходимость найти площадь и периметр этой геометрической фигуры. Вычисление этих значений не принесет труда, если уделить несколько минут времени для просмотра данного видео урока, объясняющего простые правила проведения расчетов.

Обучающее видео “Как найти площадь и периметр квадрата”

Что необходимо знать о квадрате?

Прежде чем приступать к проведению вычислений, необходимо знать некоторые важные сведения об этой фигуре, среди которых:

все стороны квадрата равны;
все углы квадрата прямые;
площадь квадрата – это способ исчисления того, как много места занимает фигура в двухмерном пространстве;
двухмерное пространство – это лист бумаги или экран компьютера, где нарисован квадрат;
периметр не является индикатором наполненности фигуры, однако позволяет работать с его сторонами;
периметр – это сумма всех сторон квадрата;
подсчитывая периметр, мы оперируем одномерным пространством, что означает фиксацию результата в метрах, а не метрах квадратных (площадь).

Как найти площадь квадрата?

Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:

предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).

Как найти периметр квадрата?

Зная, что все стороны данного прямоугольника равны, необходимо сделать следующие манипуляции, чтобы вычислить его периметр:

сложите все четыре стороны квадрата (8 + 8 + 8 + 8 = 32);
полученное значение будет периметром квадрата, зафиксированным в метрах.

Все формулы и исчисления, приведенные в рамках данной статьи, применимы для любого прямоугольника. Важно помнить, что когда речь идет о других прямоугольниках, которые не являются правильными, значение сторон будет разным, например 4 и 8 метров. Это означает, что для нахождения площади такого прямоугольника необходимо будет умножать разные по значению стороны фигуры, а не одинаковые.

Необходимо помнить и то, что площадь измеряется в квадратных, а периметр в простых метрах. Если периметр нарисовать в виде одной длинной линии, то его значение не изменится, что говорит о том, что исчисления проводятся в одномерном пространстве.

Площадь измеряется в двухмерном пространстве, о чем говорят квадратные метры, которые мы получаем, умножив метры на метры. Площадь является индикатором наполненности геометрической фигуры, и говорит нам о том, сколько воображаемого покрытия необходимо для того чтобы заполнить квадрат или другой прямоугольник.

Простые объяснения видео урока позволят быстро вычислить площадь и периметр не только квадрата, но и любого прямоугольника. Данные знания школьного курса будут полезны во время ремонта дома или на садовом участке.

При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .

В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера - 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре - бесконечное количество.

Замечание для любознательных . В случае с прямоугольником, у которого задан периметр, максимальную площадь будет иметь квадрат.

Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.

В этом уроке:

Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон - 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.

2(x+y)=32
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9
Ответ : Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.

Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 - 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.

И т. д.:

Если внимательно посмотреть на все эти фигуры, то можно выделить две из них, которые образованы замкнутыми линиями (окружность и треугольник). Эти фигуры имеют своего рода границу, отделяющую то что находится внутри, от того что находится снаружи. То есть граница делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю область относительно фигуры, к которой она относится:

Периметр

Периметр - это замкнутая граница плоской геометрической фигуры, отделяющая её внутреннюю область от внешней.

Периметр есть у любой замкнутой геометрической фигуры:

На рисунке периметры выделены красной линией. Обратите внимание, что периметр окружности часто называют длиной.

Периметр измеряется в единицах измерения длины: мм, см, дм, м, км.

У всех многоугольников нахождение периметра сводится к сложению длин всех сторон, то есть периметр многоугольника всегда равен сумме длин его сторон. При вычислении периметр часто обозначают большой латинской буквой P:

Площадь

Площадь - это часть плоскости, занимаемая замкнутой плоской геометрической фигурой.

Любая плоская замкнутая геометрическая фигура имеет определённую площадь. На чертежах площадью геометрических фигур является внутренняя область, то есть та часть плоскости, которая находится внутри периметра.

Измерить площадь фигуры - значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается другая фигура, принятая за единицу измерения. Обычно за единицу измерения площади принимается квадрат, у которого сторона равна единице измерения длины: миллиметру, сантиметру, метру и т. д.

На рисунке изображён квадратный сантиметр. - квадрат, у которого каждая сторона имеет длину 1 см:

Площадь измеряется в квадратных единицах измерения длины. К единицам измерения площади относятся: мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т. д.

Таблица перевода квадратных единиц

	мм 2	см 2	дм 2	м 2	ар (сотка)	гектар (га)	км 2
мм 2	1 мм 2	0,01 см 2	10 -4 дм 2	10 -6 м 2	10 -8 ар	10 -10 га	10 -12 км 2
см 2	100 мм 2	1 см 2	0,01 дм 2	10 -4 м 2	10 -6 ар	10 -8 га	10 -10 км 2
дм 2	10 4 мм 2	100 см 2	1 дм 2	0,01 м 2	10 -4 ар	10 -6 га	10 -8 км 2
м 2	10 6 мм 2	10 4 см 2	100 дм 2	1 м 2	0,01 ар	10 -4 га	10 -6 км 2
ар	10 8 мм 2	10 6 см 2	10 4 дм 2	100 м 2	1 ар	0,01 га	10 -4 км 2
га	10 10 мм 2	10 8 см 2	10 6 дм 2	10 4 м 2	100 ар	1 га	0,01 км 2
км 2	10 12 мм 2	10 10 см 2	10 8 дм 2	10 6 м 2	10 4 ар	100 га	1 км 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника.

Для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, где периметр обозначается буквой «P». Название фигуры рекомендуется писать маленькими буквами под знаком «P», чтобы знать чей периметр ты находишь.
Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.

Отличительные особенности прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник.
Все параллельные стороны равны
Все углы = 90º.
Например в повседневной жизни прямоугольник может встречаться в виде - книги, монитора, крышки от стола или двери.

Как вычислить периметр прямоугольника

Существует 2 способа его нахождения:

1 способ. Складываем все стороны. P = a + а + b + b
2 способ. Сложить ширину и длину, и умножить на 2. P = (a + b) · 2. ИЛИ Р = 2 · а + 2 · b. Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), называются длиной и шириной.

«a» - длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.

«b» - ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.

Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:

Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина - 6.

Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!

Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины.

Полупериметр прямоугольника - когда выполняешь первое действие в скобках – (a+b) .
Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, т.е. умножить на 2.

Как найти площадь прямоугольника

Формула площади прямоугольника S= a*b

Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.

: a 2 + b 2 = c 2 , где a и b – стороны треугольника, а с – гипотенуза, самая длинная сторона.

Помни!

Все квадраты – прямоугольники, но не все прямоугольники – квадраты. Так как:
- Прямоугольник - это четырехугольник со всеми прямыми углами.
- Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
Если ты находишь площадь, ответ всегда будет в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т.д.)